Question

西湖龙井茶名扬中外．小叶是某龙井茶叶有限公司产品包装部门的设计师．
如图1是用矩形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处矩形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）小叶用长40cm，宽34cm的矩形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）如图2是小叶设计出的一款茶叶包装，它的里面是由四个圆柱体茶叶罐包装而成的龙井茶．现有一张60cm×44cm的矩形厚纸片，按如图3所示的方法设计包装盒，用来包装四个圆柱体茶叶罐，已知该种的茶叶罐高是底面直径1.5倍，要求包装盒“接口”的宽度为2cm（如有多余可裁剪），问这样的茶叶罐底面直径最大可以为多少？                                               

图1                   图2                        图3

Answer 1

解：（1）设“接口”的宽度为xcm，盒底边长为ycm. 得   
解得．∴8×2.5=20cm，20×8×8=1280cm³．即该茶叶盒的容积是1280 cm³． 
（2）设瓶底直径为dcm，得或              
解得d≤8或d≤6，即茶叶罐底面直径最大可以为8cm．                     

（1）由三处“接口”的宽度相等，以及矩形的长和宽，再结合图形可以列出方程组求得“接口”的宽度和盒底边长，从而求得该茶叶盒的容积；
（2）由矩形的长和宽的范围再结合图形得到不等式组，解得茶叶罐底面直径的范围，从而得到最大值。