Question

某品牌产品公司献爱心，捐出了二月份的全部利润．已知该公司二月份只售出了A、B、C三种型号的产品若干件，每种型号产品不少于4件，二月份支出包括这批产品进货款20万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）1.9万元．这三种产品的售价和进价如下表，人员工资y₁（万元）和杂项支出y₂（万元）分别与销售总量x（件）成一次函数关系（如图）．

型号	甲	乙	丙
进价（万元/件）	0.5	0.8	0.7
售价（万元/件）	0.8	1.2	0.9

（1）求y₁与x的函数关系；
（2）求二月份该公司的总销售量；
（3）设公司二月份售出A种产品t件，二月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式及t的取值范围；
（4）请求出该公司这次爱心捐款金额的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，（10，0.6），（0，0.1）两点代入解析式，求一次函数解析式；
（2）由人员工资y₁（万元）和杂项支出y₂（万元）分别与销售总量x（件）成一次函数关系，直接将两者相加即可；
（3）由设公司二月份售出A种产品t件，假设售出B种产品x件，从而表示出售出C种产品（30-t-x）件，再根据二月份该公司的总销售量是30件；用t表示出x，结合统计表即可求出；
（4）根据一次函数的增减性即可求出．

解答：解：（1）设y₁与x的函数关系为y₁=kx+b，
如图所示：图象过（10，0.6），（0，0.1）两点，代入解析式得：

10k+b=0.6 b=0.1

，
解得：k=0.05，b=0.1，
∴y₁与x的函数关系为y₁=0.05x+0.1；

（2）∵二月份人员工资和杂项开支1.9万元，
人员工资y₁（万元）和杂项支出y₂（万元）分别与销售总量x（件）成一次函数关系，
∴根据题意得：y₁+y₂=0.05x+0.1+0.005x+0.15=1.9，
整理得：0.055x=1.65，
解得：x=30（件）；
∴二月份该公司的总销售量是30件；

（3）∵设公司二月份售出A种产品t件，售出B种产品x件，售出C种产品（30-t-x）件，
∵二月份该公司的总销售量是30件；
∴30=0.5t+0.8x+（30-t-x）×0.7，
整理得：x=2t-10，
∴二月份总销售利润为：
W=（0.8-0.5）t+（1.2-0.8）（2t-10）+（0.9-0.7）（30-t-2t+10）-1.9，
=0.3t+0.8t-4+8-0.6t-1.9，
=0.5t+2.1，
∴W与t的函数关系式为：w=0.5t+2.1，
∵每种型号产品不少于4件，
t的取值范围是：7≤t≤12；

（4）∵W与t的函数关系式为：w=0.5t+2.1，
∴w随t的增大而增大，当t取最大值时，w最大，
∴当t=12时，w=0.5×12+2.1=8.1万元，
该公司这次爱心捐款金额的最大值是8.1万元．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，每一问题之间存在着一定的联系，所以必须保证每个问题必须正确，才能进行下一个问题的解答，利用一次函数增减性是解决第4问的关键．