Question

梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：
（1）EF⊥BC；
（2）BF•BC=BE•AE．

Answer 1

分析：（1）根据已知利用切线的性质可得到∠BEF+∠B=90°，即EF⊥BC；
（2）利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例和AD=BC，即可得到BF•BC=BE•AE．

解答：证明：（1）连接OE，
∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，
∴∠DEF=∠OEA．
∵OA=OE，AD=BC，
∴∠OEA=∠A=∠B．
∴∠A=∠B=∠DEF．
∵∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠BEF+∠B=90°．
∴EF⊥BC；

（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，
∴△ADE∽△BEF．
∴

AD

BE

=

AE

BF

．
∵AD=BC，
∴

BC

BE

=

AE

BF

．
∴BF•BC=BE•AE．

点评：此题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识及其运用能力．