Question

2．如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．
（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，-1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得AG=GH，设AG的长度为x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；
（2）作点A关于直线y=-1的对称点A'，连接CA'与y=-1交于一点，这个就是所求的点，求出此时AM+CM的值；
（3）求出G、H的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式．

解答 解：（1）由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
设AG的长度为x，
∴BG=4-x，HB=5-3=2，
在Rt△BHG中，GH²+HB²=BG²，
x²+4=（4-x）²，
解得：x=1.5，
即AG的长度为1.5；

（2）如图所示：作点A关于直线y=-1的对称点A'，连接CA'与y=-1交于M点，
∵点B（5，1），
∴A（1，1），C（5，4），A'（1，-3），
AM+CM=A'C=$\sqrt{{4}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
即AM+CM的最小值为$\sqrt{65}$；

（3）∵点A（1，1），
∴G（2.5，1），
过点H作HE⊥AD于点E，HF⊥AB于点F，如图所示，
∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，
∴$\frac{DH}{DB}$=$\frac{EH}{AB}$，$\frac{HF}{DA}$=$\frac{BH}{BD}$，
即$\frac{3}{5}$=$\frac{EH}{4}$，$\frac{HF}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得：EH=$\frac{12}{5}$，HF=$\frac{6}{5}$，
则点H（$\frac{17}{5}$，$\frac{11}{5}$），
设GH所在直线的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2.5k+b=1}\\{\frac{17}{5}k+b=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
则解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了一次函数的综合应用，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质以及利用待定系数法求函数解析式等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握数形结合的思想．