Question

16．已知α、β是方程x²-x-1=0的两个实数根，求下列各代数式的值．
（1）α²+β²；
（2）$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$；
（3）α³+2β-5；
（4）2α²+5β²．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系可得出“α+β=1，α•β=-1”．将（1）（2）（3）转化成只含α+β与α•β的算式，代入数据即可求出结论；（4）将2α²+5β²化简成9+3β，通过解一元二次方程得出β的值，将其代入9+3β中即可得出结论．

解答 解：∵α、β是方程x²-x-1=0的两个实数根，
∴α+β=1，α•β=-1．
（1）α²+β²=（α+β）²-2α•β=1²-2×（-1）=3；
（2）$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{α•β}$=$\frac{1}{-1}$=-1；
（3）α³+2β-5=（α³-1）+2β-4=（α-1）（α²+α+1）+2β-4=[α-（α+β）]（α²+α-α•β）+2β-4=-β•α（α+1-β）+2β-4=-β•α[α+（α+β）-β]+2β-4=2α+2β-4=-2；
（4）2α²+5β²=（2α²+2β²）+3β²-3+3=2[（α+β）²-2α•β]+3（β²+α•β）+3=9+3β．
∵α、β是方程x²-x-1=0的两个实数根，
∴β=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∴2α²+5β²=$\frac{21±3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：（1）（2）（3）转化成只含α+β与α•β的算式；（4）化简成9+3β．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．