Question

如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；
（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；
（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等即可证明；
（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠E；然后根据外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°；从而求得∠DOB=30°，即∠A=30°；
（3）由角平分线的性质知∠FOM=45°-

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∠AOC ①，∠PCO=

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2

∠A+

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2

∠AOC ②，根据①②解得∠PCO+∠FOM=45°+

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∠A，最后根据三角形内角和定理求得旋转后的∠P的度数．

解答：（1）证明：∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠A=∠AOC，
∴∠B=∠BOC；

解：（2）∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，
∴∠A=∠DOB，
又∵∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，
∴∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA，
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，
∴∠A=30°；

（3）∠P的度数不变，∠P=25°．理由如下：（只答不变不得分）
∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，
又∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，
∴∠FOM=45°-

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∠AOC ①，∠PCO=

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∠A+

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∠AOC ②，
①+②得：∠PCO+∠FOM=45°+

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∠A，
∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）
=180°-（45°+

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∠A+90°）
=180°-（45°+20°+90°）
=25°．

点评：本题综合考查了三角形内角和定理、坐标与图形的性质．解答时，需注意，△ABO旋转后的形状与大小均无变化．