Question

9．在边长为1的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN．求证：△ABN≌△ADN；
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（1≤x≤2）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，对角线平分一组对角可得∠BAN=∠DAN，然后利用“边角边”证明；
（2）根据有一个角是直角的菱形的正方形判断出四边形ABCD是正方形，再根据正方形的性质点M与点B、C重合时△ADN是等腰三角形；AN=AD时，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．

解答 （1）证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAN=∠DAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADN（SAS）；

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴当x=1时，点M与点B重合，AN=DN，△ADN为等腰三角形，
当x=2时，点M与点C重合，AD=DN，△ADN为等腰三角形，
当AN=AD时，在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
CN=AC-AN=$\sqrt{2}$-1，
∵正方形ABCD的边BC∥AD，
∴△ADN∽△CMN，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{CN}{AN}$，
即$\frac{CM}{1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$，
解得CM=$\sqrt{2}$-1，
∴BM=BC-CM=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
x=AB+BM=1+2-$\sqrt{2}$=3-$\sqrt{2}$，
综上所述，x为1或2或3-$\sqrt{2}$时，△ADN为等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论．