【题目】对于△ABC及其边上的点P,给出如下定义:如果点,,,……,都在△ABC的边上,且,那么称点,,,……,为△ABC关于点P的等距点,线段,,,……,为△ABC关于点P的等距线段.
(1)如图1,△ABC中,∠A<90°,AB=AC,点P是BC的中点.
①点B,C △ABC关于点P的等距点,线段PA,PB △ABC关于点P的等距线段;(填“是”或“不是”)
②△ABC关于点P的两个等距点,分别在边AB,AC上,当相应的等距线段最短时,在图1中画出线段,;
(2)△ABC是边长为4的等边三角形,点P在BC上,点C,D是△ABC关于点P的等距点,且PC=1,求线段DC的长;
(3)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.点P在BC上,△ABC关于点P的等距点恰好有四个,且其中一个是点.若,直接写出长的取值范围.(用含的式子表示)
【答案】(1)①是,不是;②见解析;(2)DC=1或2;(3).
【解析】
(1)①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可;
②根据题意,点P在∠BAC的平分线上,要使相应的等距线段最短,只要过点P作AB、AC的垂线段即可;
(2)显然点D不可能在AB边上,分点D在等边△ABC的边AC、BC上,画出图形,然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可;
(3)先求出△ABC关于点P的等距点恰好有3个,且其中一个是点时的PC的长,进而可得答案.
解:(1)①∵点P是BC的中点,∴PB=PC,∴点B、C是△ABC关于点P的等距点;
∵PA≠PB,∴线段PA,PB不是△ABC关于点P的等距线段;
故答案为:是,不是;
②线段,如图3所示:
(2)显然,点D不可能在AB边上,若点D在AC边上,如图4所示,
∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,
∵点C,D是△ABC关于点P的等距点,∴PC=PD,
∴△PCD是等边三角形,∴CD=PC=1;
若点D在BC边上,如图5所示,∵点C,D是△ABC关于点P的等距点,∴PC=PD=1,∴CD=2;
∴DC=1或2;
(3)当PM⊥AB且PM=PC时,如图6,此时△ABC关于点P的等距点恰好有3个,且其中一个是点,
∵∠B=30°,∴BP=2PM,∴BC=3PC=a,∴;
当点P为BC的中点时,如图7所示,此时△ABC关于点P的等距点恰好有3个,且其中一个是点,∴;
∴△ABC关于点P的等距点恰好有四个,且其中一个是点时,PC长的取值范围是:.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数 y kx 与 y 的图象交于 A、B 两点,过 A 作 y 轴的垂线,交函数的图象于点 C,连接 BC,则△ABC 的面积为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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【题目】我县某中学开展“庆十一”爱国知识竞赛活动,九年级(1)、(2)班各选出名选手参加比赛,两个班选出的名选手的比赛成绩(满分为100分)如图所示。
(1)根据图示填写如表:
班级 | 中位数(分) | 众数(分) |
九(1) |
| 85 |
九(2) | 80 |
|
(2)请你计算九(1)和九(2)班的平均成绩各是多少分。
(3)结合两班竞赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的竞赛成绩较好
(4)请计算九(1)、九(2)班的竞赛成绩的方差,并说明哪个班的成绩比较稳定?
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【题目】小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,他们共做了60次试验,试验的结果如下:
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗?为什么?
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【题目】已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为x1 ,x2 ,且x12+x22=10,求实数a的值.
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【题目】如图,对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0)。
(1)求点B的坐标;
(2)已知,C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。
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【题目】如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B与点D重合,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求∠CDE的正切值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,∠B=30°,∠BAC=80°,且BC+AC=12cm,①求∠CAE的度数;②求△AEC的周长。
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【题目】如图,四边形中,,,、分别是线段、上的动点.
(1)能否在线段上作出点E,在线段上作出点,使的周长最小?______(用“能”或“不能”填空);
(2)如果能,请你在图中作出满足条件的点、(不要求写出作法),并直接写出的度数;如果不能,请说明理由.
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