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    己知：正方形ABCD．
    （1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
    （2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
    （3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，猜想当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
    （4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，如果其对角线DF的长度为
    		6
    cm，那么四边形BDEF的面积是多少？请直接写出结论．
    分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
    （2）根据旋转角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，延长DF交BE于O，求出∠ABE+∠2=90°，从而得到∠BOD=90°，根据垂直的定义得到BE⊥DF；
    （3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=
    		2
    AD，解答出即可；
    （4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状，进而求出四边形面积．
    解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，
    ∵AE=AF，
    ∴AB-AE=AD-AF，
    即BE=DF，
    ∵∠A=90°，
    ∴BE⊥DF，
    故BE=DF，BE⊥DF；

    （2）成立；
    理由：如图②，∵△FAE是等腰直角三角形，
    ∴AE=AF，
    在正方形ABCD中，AB=AD，
    又∵∠BAE=∠DAF=α，
    ∴在△ABE和△ADF中，
    AB=AD
    ∠BAE=∠DAF
    AE=AF
    ，
    ∴△ABE≌△ADF（SAS），
    ∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
    延长DF交BE于O，
    ∵∠ADF+∠1=90°，∠1=∠2（对顶角相等），
    ∴∠ABE+∠2=90°，
    ∴∠BOD=180°-90°=90°，
    ∴BE⊥DF，
    故BE=DF，BE⊥DF；

    （3）如图③，连接BD，
    ∵直线DF垂直平分BE，
    ∴AD+AE=BD，BD=
    		2
    AD，
    ∴AE=（
    		2
    -1）AD；


    （4）如图④，连接BE、DF，
    ∵△FAE是等腰直角三角形，
    ∴AE=AF，
    在正方形ABCD中，AB=AD，
    又∵∠BAE=∠DAF=α，
    ∴在△ABE和△ADF中，
    AB=AD
    ∠BAE=∠DAF
    AE=AF
    ，
    ∴△ABE≌△ADF（SAS），
    ∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
    设DF交BE于点P，
    ∵∠ADY+∠DYA=90°，∠DYA=∠BYP（对顶角相等），
    ∴∠ABE+∠BYP=90°，
    ∴BE⊥DF，
    故BE=DF，BE⊥DF；
    ∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．
    ∴四边形BDEF的面积是
    1
    2
    ×
    		6
    ×
    		6
    =3（cm2）．
    点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及中点四边形的判定，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键．
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    （3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
    （4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．
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    （3）如图③，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年吉林省白城市镇赉镇中学九年级（上）第三次月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

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