Question

11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，O₁、O₂分别为△ACD和△BCD的内心，若AD=6，CD=8，BD=15，则cos∠O₁O₂D的值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 由O₁、O₂分别为△ACD和△BCD的内心，得到角平行线，证得∠O₁DO₂=90°，过O₁、O₂分别作MO₁⊥AB于M，NO₂⊥AB与M，得到等腰直角三角形，求得O₁D，O₂D，再由勾股定理求出O₁O₂，利用三角函数得到结果．

解答 解：连接O₁D，
∵O₁、O₂分别为△ACD和△BCD的内心，
∴∠CDO₁=∠CDO₂=45°，
过O₁、O₂分别作O₁M⊥AB于M，NO₂⊥AB与N，
∵CD⊥AB，
∴AC=$\sqrt{{AD}^{2}{+CD}^{2}}$=10，BC=$\sqrt{{BD}^{2}{+CD}^{2}}$=17，
∴O₁M=$\frac{AD+CD-AC}{2}$=2，O₂N=$\frac{CD+BD-BC}{2}$=3，
∴O₁D=2$\sqrt{2}$，DO₂=3$\sqrt{2}$，
∴O₁O₂₌$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+（3\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴cos∠O₁O₂D=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{26}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解决本题的关键．