Question

试证明：二次函数y=nx²-2mx-2n的图象与x轴交于不同的A、B两点，并回答下列问题：
若二次函数y=nx²-2mx-2n的图象的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）m、n间有何关系？
（2）设以AB为直径的圆与y轴交于点C、D，弦CD的长是否为定值？

Answer 1

分析：（1）要证明原抛物线与x轴有两个不同的交点，只要证明当y=0时△＞0就可以说明抛物线与x轴有两个不同的交点．然后将抛物线的解析式转化为顶点式，再根据根与系数的关系和两点间的距离公式可以求出m、n之间的数量关系．
（2）利用垂径定理和圆周角定理可以证明三角形相似来证明OD²=AO•OB，根据根与系数的关系可以求出OD的值，从而求出CD的值，判断其为定值．

解答：解：令y=0时，则nx²-2mx-2n=0，
∴△=（-2m）²-4n（-2n）
=4m²+8n²
∵n≠0
∴△＞0
∴方程nx²-2mx-2n=0有两个不同的实数根x₁，x₂
∴二次函数y=nx²-2mx-2n的图象与x轴交于不同的交点．
（1）∵y=nx²-2mx-2n
∴y=（x-

m

n

）²-2n-

m2

n

所以它的顶点坐标为（

m

n

，-2n-

m2

n

）
HE=|-2n-

m2

n

|
∵x₁+x₂=

2m

n

，x₁•x₂=-2
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1-x2) 2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4m2 n2 +8

∴

4m2 n2 +8

=2|-2n-

m2

n

|
变形为：m²+2n²=1

（2）连接AD、BD
∴∠ADB=90°
∴OD²=OA•OB=|x₁|•|x₂|=|x₁x₂|=2
∴OD=

2

∵CD=2OD
∴CD=2

2

即CD的长为恒值2

2

．

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与x轴的交点坐标情况，根与系数的关系及顶点坐标的运用以及定长的问题．