Question

10．综合与实践：
在综合实践课上，老师让同学们对一张长AB=4，宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作，如图（1），希望小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A′DC′．

操作与发现：
（1）将这两张三角形纸片按如图（2）摆放，连接BD，他们发现AC⊥BD，请证明这个结论；
操作与探究：
（2）在图（2）中，将△A′C′D纸片沿射线AC的方向平移，连接BC′，BA′．在平移的过程中：
①如图（3），当BA′与C′D平行时判断四边形A′BC′D的形状，说明理由并求出此时△A′C′D平移的距离；
②当BD经过点C时，直接写出△A′C′D平移的距离．
操作与实践：
（3）请你参照以上操作过程，利用图（1）中的两张三角形纸片，拼摆出新的图形．在图（4）中画出图形，标明字母，说明构图方法，并直接写出所要探究的问题，不必解答．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AD，BC=DC，可得点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，进而得到AC是线段BD的垂直平分线，即可得到结论；
（2）①先判定四边形A′BC′D是平行四边形，再根据∠A'DC'=90°，即可得出四边形A′BC′D是矩形；过B作BH⊥AA'于H，则C'H=CH，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可得到△A′C′D平移的距离；
②当BD经过点C时，过D作DG⊥A'C'于G，根据∠A'=∠ACB=∠DCA'，可得DC=DA'=3，再根据Rt△A'C'D中，GD=$\frac{12}{5}$，运用勾股定理即可得出CG=$\frac{9}{5}$，进而得到A'C=2CG=$\frac{18}{5}$；
（3）根据图形的平移变换，将（2）中的矩形判定问题转化为菱形的判定问题，以及菱形的面积计算问题即可，答案不唯一．

解答 解：（1）如图2，∵AB=AD，BC=DC，
∴点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD；

（2）①四边形A′BC′D是矩形，
理由：如图3，∵BA′与C′D平行，
∴∠D'C'A=∠BA'C'，
又∵∠DC'A'=∠A，
∴∠BA'C'=∠A，
∴AB=A'B，
又∵AB=C'D，
∴A'B=C'D，
∴四边形A′BC′D是平行四边形，
又∵∠A'DC'=90°，
∴四边形A′BC′D是矩形，
∴BC'=A'D=3，
又∵BC=3，
∴BC=BC'，
过B作BH⊥AA'于H，则C'H=CH，
∵Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∴BH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△BC'H中，C'H=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
Rt△ABH中，AH=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴AC'=AH-C'H=$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{5}$，
即△A′C′D平移的距离为$\frac{7}{5}$；

②如图，当BD经过点C时，过D作DG⊥A'C'于G，
∵∠A'=∠ACB=∠DCA'，
∴DC=DA'=3，
∵Rt△A'C'D中，GD=$\frac{12}{5}$，
∴CG=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴A'C=2CG=$\frac{18}{5}$；

（3）在图4中，将△A′C′D纸片沿射线AC的方向平移，连接BD，AD，BC′．在平移的过程中：
①如图5，当BD与C′A垂直时，判断四边形A′BC′D的形状，说明理由并求出此时△A′C′D平移的距离；
②当BD与C′A垂直时，直接写出四边形A′BC′D的面积．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质以及图形的平移变换的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用等腰三角形三线合一的性质进行计算．解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形．