Question

【题目】已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2x1，求这个函数的表达式；

（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是　　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=a﹣3（a＞0）；（3）﹣11＜b＜﹣5

【解析】

（1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；

（2）先根据一元二次方程的求根公式得出x1，x2，即可得出函数函数关系式；

（3）画出新函数的图形和直线y=2a+b，利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论．

（1）证明：∵ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）是关于x的一元二次方程，

∴△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4＞0，

∴方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）有两个不相等的实数根．

（2）解：由求根公式，得x=．

∴x=1或x=1﹣．

∵a＞0，x1＞x2，

∴x1=1，x2=1﹣，

∴y=ax2x1=a×（1﹣）﹣1=a﹣3．

即函数的表达式y=a﹣3（a＞0），

（3）解：如图，直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点，再向下平移，就和这些CBA有两个公共点，

继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点，再向下平移和这些CBA也只有一个公共点，

由（2）知，函数的表达式y=a﹣3（a＞0），

当a=2时，y=2﹣3=﹣1，

∴B（2，﹣1），

由折叠得，C（4，﹣3），

当函数y=2a+b的图象过点B时，

∴﹣1=2×2+b，

∴b=﹣5，

当函数y=2a+b的图象过点C时，

∴﹣3=2×4+b，

∴b=﹣11，

∴﹣11＜b＜﹣5．

故答案为：﹣11＜b＜﹣5．