已知直线y=kx+6(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒2个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.
(1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.
(2)当时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一交点为D(如图2),①求CD的长; ②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?
解:(1)①C(2,4),Q(4,0)
②由题意得:P(2t,0),C(2t,-2t+6),Q(6-2t,0)
分两种情况讨论:
情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA.
∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即6-2t=2t,∴t=1.5
情形二:当△AQC∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,
∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ也是等腰直角三角形,∵CP⊥OA,∴AQ=2CP,即2t=2(-2t+6),
∴t=2,∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.
(2)①由题意得:C(2t,),
∴以C为顶点的抛物线解析式是,
由
解得
过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°.
∵DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,
∴△DEC∽△AOB,∴,∵AO=8,AB=10,
DE=,∴CD=.
②∵,CD边上的高=,
∴S△COD为定值.要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短,当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,
∵∠AOB=90°∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA,
又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB.
∴当t为秒时,h的值最大.
科目:初中数学 来源: 题型:
已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
1.(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
2.(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
3.(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大,若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由。
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2012届北京市工大附中第一中学九年级上学期期中考试数学卷 题型:解答题
已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
【小题1】(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
【小题2】(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
【小题3】(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大,若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由。
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年北京市九年级上学期期中考试数学卷 题型:解答题
已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
1.(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
2.(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
3.(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大,若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由。
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