Question

一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，在y轴上是否存在一点P，使PC+PD最小？若存在，写出求点P坐标及过程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别把点A（2，0），B（0，4）代入一次函数y=kx+b，求出k、b的值即可求出一次函数的解析式；
（2）先根据C为AO的中点求出点C的坐标，求出C关于y轴的对称点为C′，同理根据D为AB的中点求出D点的坐标，用待定系数法求出C′D的解析式，再求出此函数的解析式与y轴的交点即可．

解答：解：（1）由题意可知，

0=2k+b 4=b

，
解得

k=-2 b=4

，
则该函数的解析式为y=-2x+4；

（2）在y轴上是否存在一点P，使PC+PD最小，
∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，
∴点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
设C′D的解析式为y=kx+b，
有

2=k+b 0=-k+b

，
解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，
∴y=1，
即P（0，1）．

点评：本题考查的是轴对称及用待定系数法求一次函数的解析式问题，能够综合运用一次函数的有关知识是解答此题的关键．