Question

15．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）⊙O的半径为$\sqrt{2}$，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；
②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；
（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．

解答 解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
设直线AC的解析为：y=x+m或y=-x+n
把（1，0）分别y=x+m，
∴m=-1，
∴直线AC的解析为：y=x-1，
把（1，0）代入y=-x+n，
∴n=1，
∴y=-x+1，
综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1；
（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵点M，N的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，
∴k=±1，
∵点N在⊙O上，
∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，
当k=1时，
作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，
其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，
连接OA，OC，
把M（m，3）代入y=x+b，
∴b=3-m，
∴直线MN的解析式为：y=x+3-m
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，
∴OD=$\sqrt{2}$OA=2，
∴D（0，2）
同理可得：B（0，-2），
∴令x=0代入y=x+3-m，
∴y=3-m，
∴-2≤3-m≤2，
∴1≤m≤5，
当k=-1时，把M（m，3）代入y=-x+b，
∴b=3+m，
∴直线MN的解析式为：y=-x+3+m，
同理可得：-2≤3+m≤2，
∴-5≤m≤-1；
综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或-5≤m≤-1

点评 本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．