Question

15．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+m（m＞0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段OA上，点C的横坐标为n，点D在线段AB上，且AD=2BD，将△ACD绕点D旋转180°后得到△A₁C₁D．
（1）若点C₁恰好落在y轴上，试求$\frac{n}{m}$的值；
（2）当n=4时，若△A₁C₁D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，求该一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到B（0，m），A（2m，0），过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A₁C₁于点F，求得DE=$\frac{2}{3}$m，D（$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m），C₁（$\frac{4}{3}$m-n，$\frac{4}{3}$m），根据y轴点的特点得到$\frac{4}{3}$m-n=0，即可求得结论；
（2）由（1）得，当m＞3时，点C₁在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C₁在y轴左侧．根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：（1）由题意，得B（0，m），A（2m，0），
如图，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A₁C₁于点F，
易知：DE=$\frac{2}{3}$m，D（$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m），C₁（$\frac{4}{3}$m-n，$\frac{4}{3}$m），
∴$\frac{4}{3}$m-n=0，∴$\frac{n}{m}$=$\frac{4}{3}$；
（2）由（1）得，当m＞3时，点C₁在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C₁在y轴左侧．
①当m＞3时，设A₁C₁与y轴交于点P，连接C₁B，
由△A₁C₁D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，∴S△BA₁P：S△BC₁P=3：1，
∴A₁P：C₁P=3，∴$\frac{2}{3}$m=3（$\frac{4}{3}$m-4），∴m=$\frac{18}{5}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{18}{7}$；
②当2＜m＜3时，同理可得：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{18}{5}$；
综上所述，y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{18}{7}$或y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．