Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁+x₂=4，

x1

x2

=

1

3

．
（1）分别求出A，B两点的坐标；
（2）求此抛物线的函数解析式；
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，过

OE

3

=

3

4

作直线l与抛物线交于另一点D（点D在x轴上方），连接AC，CB，BD，DA，当四边形ACBD的面积为4时，求点D的坐标和直线l的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可求出x₁，x₂的值，A、B的坐标可求．
（2）把A，B的坐标代入二次函数的解析式中，得到关于b，c的方程组，解即可．
（3）此题所给的已知条件有问题．

解答：解：（1）由x₁+x₂=4，

x1

x2

=

1

3

，
得，x₁=1，x₂=3，（1分）
∴A（1，0），B（3，0）．（3分）

（2）把A（1，0），B（3，0）的坐标代入y=-x²+bx+c，
得，

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，（4分）
解得，b=4，c=-3．（5分）
∴所求抛物线的函数解析式为y=-x²+4x-3．（6分）

（3）由题意，设点D的坐标为（f，h），
∵y=-x²+4x-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
S_△ADB+S_△ABC=4，
即

1

2

×2h+

1

2

×2×3=4，（7分）
∴h=1，（8分）
∴-f²+4f-3=1，
解得，f₁=f₂=2，（9分）
∴D（2，1）．（10分）
设l的解析式为y=kx+m，
则

m=-3 2k+m=1

，
∴

k=2 m=-3

．（11分）
∴l的函数解析式为y=2x-3．（12分）

点评：本题利用了解方程组，以及解一元二次方程等知识．