Question

10．如图1，△ABC中，∠C=90°，AC＜BC，∠BAC的平分线AD分BC边为3：5两部分．动点E从点A出发，沿着AB方向以每秒1个单位的速度向B运动，到达B点停止运动，将线段AE沿着过点E的某条直线翻折，使得点A的对称A′落在射线AC上，折痕交AD于点F，连接A′F，A′E，运动的时间为t，△A′EF与△ABD重叠部分的面积为S，S关于t的函数关系如图2所示（其中0＜t≤m，m＜t≤10时，函数的解析式不相同）．
（1）填空：CD=3，m=$\frac{55}{8}$．
（2）写出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据图2可知AB=10，由角平分线可得AC和BC的长，根据图1和图2确定重叠部分面积的分界处：当A′E过D时，即为t=m时，如图3，列等式求t的值即可；
（2）①当0≤t≤$\frac{55}{8}$时，如图4，设A′E与AD交于点G，过G作GH⊥PE于H，△A′EF与△ABD重叠部分是△EFG，根据三角形面积公式可得结果；
②当$\frac{55}{8}$＜t≤10时，如图5，△A′EF与△ABD重叠部分是梯形FDHE，利用面积差可得结果．

解答 解：（1）如图1，∵点A的对称A′落在射线AC上，
∴EF⊥AC，且EF是AA′的中垂线，
由图2可知：0≤t≤10，
∴AB=10×1=10，
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，BC=8，
∴CD=3，
当t=m时，A′E过点D，如图3，
则AE=t，
cos∠CAB=$\frac{AP}{AE}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AP}{t}=\frac{3}{5}$，
∴AP=$\frac{3}{5}t$，
∴PC=AC-AP=6-$\frac{3}{5}t$，
∵EF是AA′的中垂线，
∴AE=A′E，
∴∠AA′E=∠A′AE，
∴tan∠AA′E=tan∠A′AE=$\frac{CD}{A′C}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{8}{6}$，
∴$\frac{3}{A′C}=\frac{8}{6}$，
∴A′C=$\frac{9}{4}$，
∵AA′=2AP=AC+A′C，
∴2×$\frac{3}{5}t$=6+$\frac{9}{4}$，
t=$\frac{55}{8}$，
即m=$\frac{55}{8}$，
故答案为：3，$\frac{55}{8}$；
（2）①当0≤t≤$\frac{55}{8}$时，如图4，设A′E与AD交于点G，过G作GH⊥PE于H，
由（1）知：AE=t，PE=$\frac{4}{5}$t，
∵$\frac{PF}{EF}=\frac{3}{5}$，
∴EF=$\frac{5}{8}$PE=$\frac{5}{8}×\frac{4}{5}t$=$\frac{1}{2}t$，
∵AG平分∠A′AE，
∴$\frac{A′G}{GE}=\frac{AA′}{AE}$=$\frac{2×\frac{3}{5}t}{t}$=$\frac{6}{5}$，
∵GH∥A′P，
∴△GHE∽△A′PE，
∴$\frac{GH}{A′P}=\frac{GE}{A′E}$，
∴$\frac{GH}{\frac{3}{5}t}$=$\frac{5}{11}$，
∴GH=$\frac{3}{11}$t，
∴S=S_△GEF=$\frac{1}{2}$EF•GH=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{2}t•\frac{3}{11}t$=$\frac{3}{44}{t}^{2}$；
②当$\frac{55}{8}$＜t≤10时，如图5，
∵AP=A′P=$\frac{3}{5}t$，
∴PC=AC-AP=6-$\frac{3}{5}t$，
A′C=AA′-AC=$\frac{6}{5}t$-6，
Rt△A′CH中，tan∠CA′H=$\frac{CH}{A′C}$=$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$，
∴CH=$\frac{4}{3}$（$\frac{6}{5}t$-6）=$\frac{8}{5}t-8$，
∴BH=BC-CH=8-（$\frac{8}{5}t-8$）=16-$\frac{8}{5}t$，
∴S=S_{四边形FDHE}=S_梯形FDBE-S_△BEH=$\frac{1}{2}$PC•（EF+BD）-$\frac{1}{2}$PC•BH，
=$\frac{1}{2}$PC•（EF+BD-BH），
=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{3}{5}$t）（$\frac{1}{2}$t+5-16+$\frac{8}{5}$t），
=-$\frac{63}{100}{t}^{2}+\frac{48}{5}t-33$；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{44}{t}^{2}（0≤t≤\frac{55}{8}）}\\{-\frac{63}{100}{t}^{2}+\frac{48}{5}t-33（\frac{55}{8}＜t≤10）}\end{array}\right.$．

点评 本题是动点问题的函数图象，此类题有难度，理解图1和图2是关键，注意重叠部分面积的分界外，考查了三角形相似的性质和判定、中垂线的性质、对称的性质．