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9.如图,矩形ABCD中,BC=2AB=3,DE=2EC,∠EAF=45°,则BF的长为0.75.

分析 先构造正方形ADQP,根据∠EAF=45°得到△GAE≌△GAH(SAS),进而得出HG=EG,设PG=x,则GH=1+x=GE,GQ=3-x,在Rt△EGQ中,根据EQ2+GQ2=GE2,可得方程22+(3-x)2=(1+x)2,即可得出PG=1.5,最后根据BF∥PG,B为AP的中点,即可得到BF的长.

解答 解:如图所示,延长AB至P,使得BP=AB,延长DC至Q,使得CQ=DC,连接PQ,则四边形ADQP是正方形,
延长AF交PQ于G,连接GE,将△ADE绕着点A顺时针旋转90°得△APH,则H,P,G在同一直线上,AE=AH,
∵∠GAE=45°,∠DAP=90°,
∴∠PAH+∠PAG=∠DAE+∠PAG=45°,
∴∠GAE=∠GAH,
在△GAE和△GAH中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AH}\\{∠GAE=∠GAH}\\{AG=AG}\end{array}\right.$,
∴△GAE≌△GAH(SAS),
∴HG=EG,
由题可得,DE=1=HP,EC=0.5,CQ=1.5,PQ=3,
设PG=x,则GH=1+x=GE,GQ=3-x,
在Rt△EGQ中,EQ2+GQ2=GE2
即22+(3-x)2=(1+x)2
解得x=1.5,
∴PG=1.5,
∵BF∥PG,B为AP的中点,
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{BF}{PG}$=$\frac{1}{2}$,
∴BF=$\frac{1}{2}$PG=0.75,
故答案为:0.75

点评 本题主要考查了矩形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及正方形,依据勾股定理列方程进行求解.

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