Question

如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=ax²+bx-3a经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。
（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，
当y=0时，x=-3，
∴点A的坐标为（-3，0），
当x=0时，y= 3，
∴点B的坐标为（0，3），
把A（-3，0）、B（0，3）代入中得：
 
解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴C点的坐标为（-1，4）。
（2）∵A（-3，0）、B（0，3）、C（-1，4），
∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1，
在Rt△AOB中，；
在Rt△ANC中，；
在Rt△CMB中，；
∴，
∴∠ABC=90°，
∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四边形ABCD是直角梯形。