Question

16．如图1，已知抛物线于x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，AO=CO=5．过点A的直线l：y=kx+10交抛物线于点D，且D点横坐标为1．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥y轴于F，当△AEF面积最大时，求△ODE的面积；
（3）如图2，G、H在线段AB上，点G从点B向点A匀速运动，同时点H从点A向点B匀速运动且速度为点G的两倍，当G、H两点相遇时停止运动．在运动过程中，过G作x轴的垂线交抛物线于G₁，过H总x轴的垂线交AD于H₁，再分别以线段GG₁、HH₁为边作图2所示的等边△HH₁H₂．当等边△GG₁G₂某一边与等边△HH₁H₂某一中位线在同一条直线上时，求线段GH的长．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、D的坐标，用待定系数法求二次函数解析式．
（2）构建二次函数求最大值求出点E坐标，利用S_△ODE=S_△OAD-S_△OEA即可解决．
（3）正确画出图形，在情形①中，利用MH=$\frac{1}{2}$HH₁列出方程即可解决．在情形②中，利用MH=$\frac{1}{2}H{H}_{1}$列出方程即可．

解答 解：（1）∵直线l：y=kx+10经过点A（5，0），
∴0=5k+10
∴k=-2，
∴直线l为y=-2x+10，
∵直线l：y=kx+10交抛物线于点D，且D点横坐标为1
∴D（1，8），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过A（5，0），C（0，5），D（1，8）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{25a+5b+5=0}\\{a+b+5=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x+5．
（2）∵点E在直线AD上，
∴可以设E（m，-2m+10），
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•m•（-2m+10）=-m²+5m，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，△AEF面积最大，
此时E（$\frac{5}{2}$，5），
∴S_△ODE=S_△OAD-S_△OEA=$\frac{1}{2}$×5×8-$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{15}{2}$．
（3）情形①：如图1中，GG₂和HH₂交于点M，当MH=MH₂时，△GG₁G₂的边和△HH₁H₂的中位线在同一直线上．
作MN⊥GH，DK⊥OA，垂足分别为N、K．设BG=a则AH=2a，GH=6-3a，
∵HH₁⊥OA，DK⊥OA，
∴HH₁∥DK，
∴$\frac{AH}{AK}=\frac{H{H}_{1}}{DK}$，
∴$\frac{2a}{4}=\frac{H{H}_{1}}{8}$，
∴HH₁=4a，
∵∠G₁GG₂=∠H₂HH₁，=60°，
∴∠MGH=∠MHG=30°，
∴MH=MG，NH=NG=$\frac{1}{2}$（6-3a），
∴MH=HN÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（2-a），
∴$\sqrt{3}$（2-a）=2a，
∴a=4$\sqrt{3}$-6，
∴HG=6-3a=24-12$\sqrt{3}$．
情形②：如图2中，GG₁和HH₂交于点M，当MH=MH₂时，△GG₁G₂的边和△HH₁H₂的中位线在同一直线上．
在RT△MHG中，由①可知GH=6-3a，∠MHG=30°，
∴MH=GH$÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（2-a），
∴MH=$\frac{1}{2}H{H}_{1}$，
∴2$\sqrt{3}$（2-a）=2a，
∴a=3-$\sqrt{3}$，
∴GH=6-3a=3$\sqrt{3}$-3，
综上所述GH=24-12$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查用待定系数法求二次函数解析式、函数最大值问题、三角形面积问题、解直角三角形等知识，综合性比较强，有一定难度，学会构建二次函数解决最值问题，另外正确画出图象也是解决问题的关键．