Question

已知直线y=x与直线y=kx+b交于点A（m，n）（m＞0），点B在直线y=x上且与点A关于坐标原点O成中心对称．
（1）若OA=1，求点A的坐标；
（2）若坐标原点O到直线y=kx+b的距离为1.94，直线y=kx+b与x轴正半轴交于点P，且△PAB是以PA为直角边的直角三角形，求点A的坐标．（sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27）

Answer 1

（1）解1：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵点A（m，n）在直线y=x上，
=，
即tan∠AOD=，
∴∠AOD=30°，
∵OA=1，
∴n=，m=．
∴A（，）．
解2：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵OA=1，
∴m²+n²=1．
又∵点A（m，n）在直线y=x上
∴n=m．
∴n=，m=．
∴A（，）．

（2）解：若∠BAP=90°．
则AO=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴点A（，0.97）．
若∠APB=90°．
由题意知点O是线段AB的中点．
∴OP=OA．
过点O作OE垂直AP，垂足为E．
则有OE=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴∠AOE=15°．
在RT△AOE中，
AO=
=
=2．
∴点A（，1）．
分析：（1）首先根据点A（m，n）在直线y=x上，得出∠AOD=30°，进而得出m，n的值，即可得出A点坐标；
（2）若∠BAP=90°，则AO=1.94，∠AOD=30°，即可得出A点坐标，若∠APB=90°，由题意知点O是线段AB的中点进而得出A点坐标即可．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，根据已知进行分类讨论分别利用若∠BAP=90°，若∠APB=90°求出是解题关键．