如图.在平面直角坐标系中.抛物线与x轴交于A.B两点.与y轴交于C点.顶点为D.过点C.D的直线与x轴交于E点.以OE为直径画⊙O1.交直线CD于P.E两点.(1)求E点的坐标,(2)联结PO1.PA.求证:-,(3) ①以点O2 (0.m)为圆心画⊙O2.使得⊙O2与⊙O1相切.当⊙O2经过点C时.求实数m的值,②在①的情形下.试在坐标轴上找一点O3.以O3为圆心画⊙O3.使得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D.过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O₁，交直线CD于P、E两点.

(1)求E点的坐标；
(2)联结PO₁、PA.求证:

～

；
(3) ①以点O₂ (0，m)为圆心画⊙O₂，使得⊙O₂与⊙O₁相切，当⊙O₂经过点C时，求实数m
的值；
②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O₃，以O₃为圆心画⊙O₃，使得⊙O₃与⊙O₁、⊙O₂同时相切.直接写出满足条件的点O₃的坐标(不需写出计算过程).

解:(1) ( 3分)

∴

1分
设直线CD:

将C、D代入得

解得

∴CD直线解析式:

1分

1分
(2) ( 4分)令y="0 " 得

解得

∴

1分
又∵

、

∴以OE为直径的圆心

、半径

.
设

由

得

解得

（舍）
∴

2分
∴

又

∴

1分 ∴

～

(3) ( 7分）①

据题意，显然点

在点C下方

当⊙O₂与⊙O₁外切时

代入得

解得

（舍）2分
当⊙O₂与⊙O₁内切时

代入得

解得

（舍） 2分
∴

②

3分解析:
略

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（2）设CP=x， △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式，并求自变量的取值范围；

（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.