Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 作DG⊥AE，先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△BEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠AED=CDF，设CF=x，则DF=FB=4-x，根据勾股定理求出CF，可知tan∠AED=tanCDF，在Rt△ADG和Rt△EDG分别求出DG、EG，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：作DG⊥BE，
∵△DEF是△BEF翻折而成，
∴△DEF≌△BEF，∠B=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠AED+45°，
∴∠AED=∠CDF，
∵CA=CB=4，CD=AD=2，
设CF=x，
∴DF=FB=4-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF²+CD²=DF²，即x²+4=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∵∠A=45°，AD=2，
∴AG=DG=$\sqrt{2}$，
∵tan∠AED=tanCDF=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DG}{EG}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{EG}$=$\frac{3}{4}$，
∴EG=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴DE=BE=$\sqrt{D{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质以及锐角三角函数的综合运用，涉及面较广，但难易适中．