Question

9．如图1，二次函数y=$\frac{1}{m^2}$（x+m）（x-3m）（其中m＞0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DAE．
（1）当线段AB的长为8时，求m的值．
（2）当点B的坐标为（12，0）时，求四边形ADBE的面积．
（3）请判断$\frac{AD}{AE}$的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（4）分别延长AC和EB交于点P，如图2．点A从点（-2，0）出发沿x轴的负方向运动到点（-4，0）为止，求点P所经过的路径的长（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出点A和点B的坐标，由AB=8代入求出m的值，
（2）由点B的坐标求出m，从而求出点A，C，D坐标，用相似三角形得到的比例式求出点E坐标，最后用分割法求出四边形的面积；
（3）由（2）$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$．求出点E坐标，进而求出EN=5，DM=3，再用△ADM∽△AEN即能得到结论；
（4）有前三问的得到的点A（-m，0），B（3m，0），C（0，-3），E（4m，5），求出直线AC，BE解析式，联立得到点P的坐标，即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=$\frac{1}{m^2}$（x+m）（x-3m）（其中m＞0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），
令y=0，得0=$\frac{1}{m^2}$（x+m）（x-3m），
∴x=-m或x=3m，
∴点A的坐标为（-m，0），点B的坐标为（3m，0），
由题意，得AB=3m-（-m）=4m．
∴4m=8，即 m=2．
（2）∵点B的坐标为（12，0），
∴m=4，
∴A（-4，0），C（0，-3），
如图，

过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．
∵CD∥AB，
∴点D 的坐标为（8，-3），点M的坐标为（8，0）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN．
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$．
设E点的坐标为（$x，\frac{1}{16}（x+4）（x-12）$），
∴$\frac{8+4}{x+4}=\frac{3}{{\frac{1}{16}（x+4）（x-12）}}$
解得x₁=16，x₂=-4（舍去），
∴E点的坐标为（16，5）．
所以S_ADBE=S_△ADB+S_△ABE=$\frac{1}{2}×16×（{3+5}）=64$，
（3）$\frac{AD}{AE}$为定值．
∵A（-m，0），B（3m，0），C（0，-3），
过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．

由（2）有，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$．
∵CD∥AB，
∴点D 的坐标为（2m，-3），点M的坐标为（2m，0）．
设E点的坐标为（$x，\frac{1}{m^2}（{x+m}）（{x-3m}）$），
可得$\frac{3m}{x+m}=\frac{3}{{\frac{1}{m^2}（{x+m}）（{x-3m}）}}$
解得x₁=4m，x₂=-m（舍去）．
∴E点的坐标为（4m，5），
∴EN=5，DM=3
∵△ADM∽△AEN．
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DM}{EN}$=$\frac{3}{5}$；
（4）由（1）有，A（-m，0），B（3m，0），C（0，-3），E（4m，5），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{m}$x-3①，
直线BE解析式为y=$\frac{5}{m}$x-15②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3m}{2}}\\{y=-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$
∴P（$\frac{3m}{2}$，-$\frac{15}{2}$），
∴点A在运动时，点P的纵坐标不变，
即：点A从运动到停止，点P的路径是一条线段，
∵点A从点（-2，0）出发沿x轴的负方向运动到点（-4，0）为止，
∴当m=2时，P（3，-$\frac{15}{2}$），
当m=4时，P（6，-$\frac{15}{2}$）
∴点P所经过的路径的长为6-3=3．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴，直线和直线的交点坐标，求线段的长的方法，分割法求图形的面积，路径的长的确定，解本题的关键是用△ADM∽△AEN得到比例式，判断点P的轨迹是解本题的难点．