Question

3．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC=AD，OC=2，∠CAB=30°．
（1）求线段OD的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥AD于E，根据三角形的内角和得到∠COD=60°，根据直角三角形的性质得到CE=$\sqrt{3}$，求得AC=2$\sqrt{3}$根据线段的和差即可得到结论；
（2）根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）过C作CE⊥AD于E，
∵∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∵AD=AC=2$\sqrt{3}$，OA=OC=2，
∴OD=AD-OA=2$\sqrt{3}$-2；

（2）S_阴影=S_扇形BOC-S_△OCD=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2）×$\sqrt{3}$=$\frac{2π}{3}$-3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．