Question

【题目】如图，直线l1⊥l2于点M，以l1上的点O为圆心画圆，交l1于点A，B，交l2于点C，D，OM=4，CD=6，点E为上的动点，CE交AB于点F，AG⊥CE于点G，连接DG，AC，AD．

（1）求⊙O的半径长；

（2）若DG∥AB，求DG的长；

（3）连接DE，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；

（4）当点G在AD的右侧时，请直接写出△ADG面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）3或6；（3）存在，；（4）9

【解析】

（1）直接利用勾股定理即可求解；

（2）证得FM是△CDG的中位线，再证得△CFM∽△AFG，设参数结合比例线段即可求解；

（3）在CG上截取CH=DE，利用SAS证得△ACH≌△ADE，推出AH=AE，再根据等腰三角形三线合一的性质可证得HG=EG，从而求得答案；

（4）取AC的中点P，当PG⊥AD时，△ADG面积最大；利用勾股定理求得AD =AC的长，证得Rt△CDNRt△ADM，求得CN的长，利用三角形中位线定理求得PK的长，利用直角三角形斜边中线的性质结合三角形面积即可求解．

(1) 连接OC，

∵AM⊥CD，

∴CM=CD，

∵CD=6，

∴CM=3

∵OM=4，

∴OC= ==5 ；

(2) ∵DG∥AB，且CM=MD，

∴CF=FG，

∴FM是△CDG的中位线，

∴DG=2FM，

∵∠CMF=∠AGF=90，

∠CFM=∠AFG，

∴△CFM∽△AFG，

∴，

∴，

设FM=，则AF=AM-FM=，

∴，

解得或3，

∴DG=3或6；

（3）存在常数k=2，理由如下：

在CG上截取CH=DE，连接AH，AE，

∵AB垂直平分CD，

∴AC=AD，

又∠ACH=∠ADE，

在△ACH和△ADE中，

，

∴△ACH≌△ADE (SAS) ，

∴AH=AE，

∵AG⊥HE，

∴HG=EG，

∴，

∴；

（4）取AC的中点P，当PG⊥AD时，△ADG面积最大；

在Rt△AMC中，∠CMA=90，CM=3，AM=OA+OM=，

∴AD =AC=，

在Rt△AGC中，∠CGA=90，P为AC中点，

∴PG =AC，

作CN⊥AD于N，

在Rt△CDN和Rt△ADM中，

∵∠CND=∠AMD=90，

∠CDN=∠ADM，

∴Rt△CDNRt△ADM，

∴，

∴，

设PG交AD于K，

∵PK⊥AD，CN⊥AD，且P为AC中点，

∴PK是△ACN的中位线，

∴PK=CN=，

∴GK=PG-PK=，

∴△ADG面积最大=．