Question

10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，?ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点．
（Ⅰ）如图1，求∠DAO的大小及线段DE的长；
（Ⅱ）过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．连接OE，△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形，记直线EF′与射线DC的交点为H，△EHC的面积为3$\sqrt{3}$．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求GH，DG的长；
②当点G在点H的右侧时，求点F的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A（-2，0），D（0，2$\sqrt{3}$）用三角函数求出∠DAO，再根据点E是中点求出DE，
（Ⅱ）①先用三角函数求出GH=6，再判断出△EAO是等边三角形，然后判断出△DHE∽△DEG得到比例式列方程求出DG．
②先用三角函数求出GH=6，再判断出△EAO是等边三角形，然后判断出△DHE∽△DEG得到比例式列方程求出DG，从而求出OF，根据点F的位置确定出点F的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-2，0），D（0，2$\sqrt{3}$）
∴AO=2，DO=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠DAO=$\frac{DO}{AO}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAO=60°，
∴∠ADO=30°，
∴AD=2AO=4，
∵点E为线段AD中点，
∴DE=2；
（Ⅱ）①如图2，

过点E作EM⊥CD，
∴CD∥AB，
∴∠EDM=∠DAB=60°，
∴EM=DEsin60°=$\sqrt{3}$，
∴GH=6，
∵CD∥AB，
∴∠DGE=∠OFE，
∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，
∴△OEF′≌△OEF，
∴∠OFE=∠OF′E，
∵点E是AD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=AE，
∵∠EAO=60°，
∴△EAO是等边三角形，
∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，
∵△OEF′≌△OEF，
∴∠EOF′=∠EOA=60°，
∴∠EOF′=∠AEO，
∴AD∥OF′，
∴∠OF′E=∠DEH，
∴∠DEH=∠DGE，
∵∠DEH=∠EDG，
∴△DHE∽△DEG，
∴$\frac{DE}{DG}=\frac{DH}{DE}$，
∴DE²=DG×DH，
设DG=x，则DH=x+6，
∴4=x（x+6），
∴x₁=-3+$\sqrt{13}$，x₂=-3-$\sqrt{13}$，
∴DG=-3+$\sqrt{13}$．
②如图3，

过点E作EM⊥CD，
∴CD∥AB，
∴∠EDM=∠DAB=60°，
∴EM=DEsin60°=$\sqrt{3}$，
∴GH=6，
∵CD∥AB，
∴∠DHE=∠OFE，
∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，
∴△OEF′≌△OEF，
∴∠OFE=∠OF′E，
∵点E是AD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=AE，
∵∠EAO=60°，
∴△EAO是等边三角形，
∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，
∵△OEF′≌△OEF，
∴∠EOF′=∠EOA=60°，
∴∠EOF′=∠AEO，
∴AD∥OF′，
∴∠OF′E=∠DEH，
∴∠DEG=∠DHE，
∵∠DEG=∠EDH，
∴△DGE∽△DEH，
∴$\frac{DE}{DG}=\frac{DH}{DE}$，
∴DE²=DG×DH，
设DH=x，则DG=x+6，
∴4=x（x+6），
∴x₁=-3+$\sqrt{13}$，x₂=-3-$\sqrt{13}$，
∴DH=-3+$\sqrt{13}$．
∴DG=3+$\sqrt{13}$
∴DG=AF=3+$\sqrt{13}$，
∴OF=5+$\sqrt{13}$，
∴F（-5-$\sqrt{13}$，0）．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的意义，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是求出角度．