Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），以D为圆心，DC的长为半径作⊙D．当⊙D与AB边相切时，BD的长为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD．通过相似三角形△BFD∽△BGA的对应边成比例得到

DF

AG

=

DB

BA

．DF=6-BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相关线段的长度代入便可以求得BD的长度．

解答：如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD，则DF=DC，∠BFD=90°．
过点A作AG⊥BC于点G，则∠BGA=90°．
∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴

DF

AG

=

DB

BA

．
又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC
∴BG=

1

2

BC=3，AG=

AB2-BG2

=4，
∴

6-BD

4

=

BD

5

，
解得BD=

10

3

，
故答案为：

10

3

．

点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．