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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
    （3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    考点：二次函数综合题
    专题：代数几何综合题
    分析：（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-
    b
    2a
    ，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得．
    （2）四边形BCMN为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合． ②M点在N右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．
    （3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-2，0），
    ∴0=4a-2b+4，
    ∵对称轴是x=3，
    ∴-
    b
    2a
    =3，即6a+b=0，
    两关于a、b的方程联立解得 a=-
    1
    4
    ，b=
    3
    2
    ，
    ∴抛物线为y=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4．

    （2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，
    ∴BC=MN．
    ①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．
    设M（x，-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4），则N（x+3，-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x），
    ∵N在x轴上，
    ∴-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x=0，
    解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，
    ∴xM=6，
    ∴M（6，4）．
    ②M点在N右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．
    设M（x，-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4），则N（x-3，-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+8），
    ∵N在x轴上，
    ∴-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+8=0，
    解得 x=3-
    		41
    ，或x=3+
    		41
    ，
    ∴xM=3-
    		41
    ，或3+
    		41
    ．
    ∴M（3-
    		41
    ，-4）或（3+
    		41
    ，-4）
    综上所述，M的坐标为（6，4）或（3-
    		41
    ，-4）或（3+
    		41
    ，-4）．

    （3）∵OC=4，OB=3，
    ∴BC=5．
    如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
    ∵D在x轴上，
    ∴D为（-2，0）或（8，0）．
    ①当D为（-2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，
    此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD，
    ∵BC=BD，
    ∴E为CD的中点，即E（-1，2），
    设过E（-1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则
    2=-k+b
    0=3k+b
    ，
    解得
    k=-
    1
    2
    b=
    3
    2
    ，
    ∴BE：y=-
    1
    2
    x+
    3
    2
    ．
    设P（x，y），则有
    y=-
    1
    2
    x+
    3
    2
    y=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4
    ，
    解得
    x=4+
    		26
    y=-
    1+
    		26
    2
    ，或
    x=4-
    		26
    y=
    		26
    -1
    2
    ，
    则P1（4+
    		26
    ，-
    1+
    		26
    2
    ），P2（4-
    		26
    ，
    		26
    -1
    2
    ）．
    ②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，
    此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD，
    ∵BC=BD，
    ∴F为CD的中点，即F（4，2），
    设过F（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则
    2=4k+b
    0=3k+b
    ，
    解得
    k=2
    b=-6
    ，
    ∴BF：y=2x-6．
    设P（x，y），则有
    y=2x-6
    y=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4
    ，
    解得
    x=-1+
    		41
    y=-8+2
    		41
    或
    x=-1-
    		41
    y=-8-2
    		41
    ，
    则P3（-1+
    		41
    ，-8+2
    		41
    ），P4（-1-
    		41
    ，-8-2
    		41
    ）．
    综上所述，点P的坐标为（4+
    		26
    ，-
    1+
    		26
    2
    ）或（4-
    		26
    ，
    		26
    -1
    2
    ）或（-1+
    		41
    ，-8+2
    		41
    ）或（-1-
    		41
    ，-8-2
    		41
    ）．
    点评：本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，函数的意义，平移及二元一次方程求解等知识，本题难度适中，但想做全答案并不容易，是道非常值得学生练习的题目．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程组或不等式组：
    （1）
    2x-y=9
    x+y=6
    ；
    （2）
    3x+2y=-3
    2x-5y+2=0
    ；
    （3）
    y+5＞0
    3y+2＜-2y-8
    ；
    （4）
    3x＞6
    x-5＞2x+1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    （1）解方程：
    2x
    x-2
    =1-
    1
    2-x
    ；
    （2）计算：
    		8
    +（
    		2
    -1）+（
    1
    2
    ）0．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1．
    （1）[0.5]=
     
    ；[-2.5]=
     
    ，
    （2）若[
    x+4
    10
    ]=5，求x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （2）求矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的面积的比
     
    ．
    （3）将矩形ABCD的各顶点的横、纵坐标都扩大n倍（n为正整数），得到矩形AnBnCnDn，则矩形AnBnCnDn与矩形ABCD的面积的比为
     
    ．

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    某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对本校七年级学生进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”的问卷调查，根据收回的问卷，学校绘制了统计表、统计图，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：

    （1）补全统计表；
    （2）指出扇形统计图中，代号为1的扇形的圆心角的度数，将条形统计图中的代号为4的部分补充完整；
    （3）你最喜欢以上哪种教学方式或另外的教学方式，请提出你的建议，并简要说明理由．
    代号 教学方式 最喜欢人数 占百分比
    1 老师讲，学生听 20 10%
    2 老师提出问题，学生探索思考 100
     
    3 学生自行阅读教程，独立思考 30 15%
    4 分组讨论，解决问题
     
    		 25%

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    计算：-9+3=
     
    ．

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