Question

如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，CD⊥CP，可得∠ACB=∠PCD=90°，又由∠A与∠P是

BC

对的圆周角，由圆周角定理，可得∠A=∠P，即可判定△ABC∽△PDC，又由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（2）首先过点B作BE⊥PC于E，由点P是

AB

的中点，可得∠PCB=

1

2

∠ACB=45°，然后利用三角函数的性质，求得BE，CE的长，继而求得PE，CD的长．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A与∠P是

BC

对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴

AC

PC

=

BC

CD

，
∴AC•CD=PC•BC；

（2）解：当点P运动到

AB

的中点时，过点B作BE⊥PC于E，
∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵点P是

AB

的中点，
∴∠PCB=

1

2

∠ACB=45°，
∴BE=CE=BC•sin45°=8×

2

2

=4

2

，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A=

BE

PE

=

BC

AC

=

4

3

，
∴PE=

3

4

BE=3

2

，
∴PC=PE+CE=7

2

，
∴CD=PC•tan∠P=

4

3

×7

2

=

28 2

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与转化思想的应用．