Question

4．AD是Rt△ABC中斜边上的高，延长CD至E，使∠EAB等于∠BCA，求证：$\frac{A{E}^{2}}{E{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 由已知条件证得△ABE∽△EAC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{AC}$，等式两边平方得$\frac{A{E}^{2}}{E{C}^{2}}=\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$，根据射影定理得到AC²=CD•BC，AB²=BD•BC，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵∠EAB=∠BCA，∠E=∠E，
∴△ABE∽△EAC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{A{E}^{2}}{E{C}^{2}}=\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$，
∵AD是Rt△ABC中斜边上的高，
根据射影定理得：AC²=CD•BC，AB²=BD•BC，
∴$\frac{A{E}^{2}}{E{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，射影定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．