Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x﹦-2，点C是抛物线与y轴的交点，点D是抛物线上另一点，已知以OC为一边的矩形OCDE的面积为8．
（1）写出点D坐标并求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线在x轴上方的一个动点，且始终保持PQ⊥x轴，垂足为点Q，是否存在这样的点，使得△PQB∽△BOC？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据矩形OCDE的面积为8和抛物线对称轴为直线x﹦-2，可得点C坐标，进一步得到点D坐标；再根据抛物线的交点式，利用待定系数法得到抛物线的解析式；
（2）分点P在对称轴的左边和点P在对称轴的右边两种情况讨论，可求点P的坐标．

解答：解：（1）∵矩形OCDE的面积为8，抛物线对称轴为直线x=-2，
∴OE=4，
∴OC=8÷4=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴点D坐标为（-4，2），
∵点A的坐标为（-1，0），
∴点B的坐标为（-3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x+3），
把点C坐标代入得3a=2，
解得a=

2

3

．
故抛物线解析式为y=

2

3

（x+1）（x+3）=

2

3

x²+

8

3

x+2；
（2）设点P的坐标为（m，

2

3

m²+

8

3

m+2），
①点P在对称轴的左边时，
∵△PQB∽△BOC，
∴

2 3 m2+ 8 3 m+2

-3-m

=

3

2

，
解得m₁=-

13

4

，m₂=-3（不合题意舍去），

2

3

m²+

8

3

m+2=

3

8

，
∴点P的坐标（-

13

4

，

3

8

）；
②点P在对称轴的右边时，
∵△PQB∽△BOC，
∴

2 3 m2+ 8 3 m+2

m+3

=

3

2

，
解得m₁=

5

4

，m₂=-3（不合题意舍去），

2

3

m²+

8

3

m+2=

51

8

，
∴点P的坐标（

5

4

，

51

8

）．
综上所述，点P的坐标（-

13

4

，

3

8

）或（

5

4

，

51

8

）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点为：抛物线的轴对称性，矩形的面积计算，待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．