【题目】如图,已知抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于点M,与y轴交于点N,抛物线的对称轴与x轴交于点P,OM=1,ON=5.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点A是y轴正半轴上一动点,点B是抛物线对称轴上的任意一点,连接AB、AM、BM,且AB⊥AM.
①AO为何值时,△ABM∽△OMN,请说明理由;
②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时,请直接写出点A的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)①AO为10时,△ABM∽△OMN;②A的坐标为(0,)或(0, )或(0, ).
【解析】
(1)将M、N的坐标代入列方程组求出a,c的值即可;
(2)①设A(0,m),用m的代数式分别表示AB、AM,然后△ABM∽△OMN列出等式求出m的值;
②分3种情况讨论Ⅰ.当AB=MP=3时,Ⅱ.当AM=MP=3时,Ⅲ.当BM=MP=3时,分别求出m的值.
解:(1)∵OM=1,ON=5,
∴M(﹣1,0),N(0,5),
将M(﹣1,0),N(0,5)代入y=ax2+4x+c,
a=﹣1,c=5,
抛物线的表达式为y=﹣x2+4x+5;
(2)①AO为10时,△ABM∽△OMN.理由如下:
设A(0,m),则OA=m,,
∵kAM=m,AB⊥AM,
∴kAB=﹣,
∴直线AB表达式:,
∵抛物线y=﹣x2+4x+5对称轴:直线x=2,
∵△ABM∽△OMN,
∴
化简,得 m4﹣99m2﹣100=0,
(m2﹣100)(m2+1)=0,
∵m2+1≠0,
∴m2﹣100=0,
∴m=10或﹣10(舍去)
AO=10,即AO为10时,△ABM∽△OMN.
②A的坐标为
∵M(﹣1,0),P(2,0),
∴MP=2﹣(﹣1)=3
Ⅰ.当AB=MP=3时,
解得
Ⅱ.当AM=MP=3时,
解得
Ⅲ.当BM=MP=3时,
m=或﹣(舍去),
故求得符合条件的A的坐标为
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C.若∠BOC=∠BCO,则k的值为( )
A. B. C. D. 2
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)试说明△ABD≌△BCE;
(2)△EAF与△EBA相似吗?说说你的理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,E为AC的中点,BE交⊙O于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)①当∠B=______时,四边形AODE是正方形;
②在①的条件下,若OA=2,线段BF的长为______.
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【题目】某公司的午餐采用自助的形式,并倡导员工“适度取餐,减少浪费”该公司共有10个部门,且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况,从这10个部门中随机抽取了两个部门,进行了连续四周(20个工作日)的调查,得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量,以下简称“每日餐余重量”(单位:千克),并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息..部门每日餐余重量的频数分布直方图如下(数据分成6组:,,,):
.部门每日餐余重量在这一组的是:6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
.部门每日餐余重量如下:1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
. 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下:
部门 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 6.4 |
| 7.0 |
/p> | 6.6 | 7.2 |
|
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中的值;
(2)在这两个部门中,“适度取餐,减少浪费”做得较好的部门是________(填“”或“”),理由是____________;
(3)结合这两个部门每日餐余重量的数据,估计该公司(10个部门)一年(按240个工作日计算)的餐余总重量.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,沿A→C的路线向点C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
(1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N.
①当t为何值时,点P、M、N在一直线上?
②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】河南开封的西瓜个大瓤红且甜,全国知名某瓜农准备从某货运公司租用大小两种型号的货车运输西瓜到外地销售,已知一辆大型货车和一辆小型货车每次共运10吨;两辆大型货车和三辆小型渣货车每次共运24吨.
求一辆大型货车和一辆小型货车每次各运西瓜多少吨?
已知一辆大型货车运输花费为400元次,一辆小型货车运输花费为300元次,计划用20辆货车运输,且每次运输西瓜总重量不少于96吨,如何安排才能使每次运费最低,最低费用是多少?
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