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11.已知在△ABC中,∠BAC=60°,点P为边BC的中点,分别以AB和AC为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且∠DAB=∠EAC=α,连结PD,PE,DE.
(1)如图1,若α=45°,则$\frac{DE}{DP}$=$\sqrt{2}$;
(2)如图2,若α为任意角度,求证:∠PDE=α;
(3)如图3,若α=15°,AB=8,AC=6,则△PDE的面积为$\frac{25}{4}$.

分析 (1)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF,再连接PG、EG,利用直角三角形斜边上的中线的性质和四边形AFPG为平行四边形,证明△DFP≌△PGE即可得出PD=PE,再根据平行线的性质以及三角形内角和定理,求得∠DPE=90°,即可得到△DEP为等腰直角三角形,进而得出结论;
(2)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF,再连接PG、EG,利用直角三角形斜边上的中线的性质和四边形AFPG为平行四边形,证明△DFP≌△PGE即可得出PD=PE,再根据平行线的性质以及三角形内角和定理,求得∠DPE+∠BFD=180°,进而得出∠DPE=∠DFA,最后根据等腰三角形的性质,得出∠PDE=∠FAD即可;
(3)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF,再连接PG、EG,利用直角三角形斜边上的中线的性质和四边形AFPG为平行四边形,证明△DFP≌△PGE即可得出PD=PE,再根据α=15°,∠BAC=60°,求得∠DFP=∠PGE=90°,然后根据勾股定理求得DP=EP=5,最后计算△PDE的面积即可.

解答 解:(1)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线定理可得,
AF=PG,AG=PF,即四边形AFPG为平行四边形,
∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,
∵Rt△ABD和Rt△ACE中,∠DAB=∠EAC=α=45°,
∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,
∴DF⊥AB,EG⊥AC,且DF=AF=PG,PF=AG=EG,
∴∠DFP=∠PGE=150°,
在△DFP和△PGE中,
$\left\{\begin{array}{l}{DF=PG}\\{∠DFP=∠PGE}\\{PF=EG}\end{array}\right.$,
∴△DFP≌△PGE(SAS),
∴DP=PE,∠GPE=∠FDP,
∵△DPF中,∠FDP+∠DPF+∠PFB=90°,
而∠PFB=∠FPG,
∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=90°,
即∠DPE=90°,
∴△DEP是等腰直角三角形,
∴$\frac{DE}{DP}$=$\sqrt{2}$;
故答案为:$\sqrt{2}$;

(2)证明:分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线定理可得,
AF=PG,AG=PF,即四边形AFPG为平行四边形,
∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,
∵Rt△ABD和Rt△ACE中,DF=AF,GE=AG,
∴DF=PG,PF=EG,∠DFB=2∠DAF=2α,∠EGC=2∠CAE=2α,
∴∠DFP=∠PGE,
在△DFP和△PGE中,
$\left\{\begin{array}{l}{DF=PG}\\{∠DFP=∠PGE}\\{PF=EG}\end{array}\right.$,
∴△DFP≌△PGE(SAS),
∴DP=PE,∠GPE=∠FDP,
∵在△DFP中,∠FDP+∠DPF+∠PFB=180°-∠DFB,
而∠PFB=∠FPG,
∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=180°-∠DFB,
即∠DPE=180°-∠DFB,
又∵∠DFA=180°-∠DFB,
∴∠DPE=∠DFA,
∴在等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中,∠PDE=∠DAF=α;

(3)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线定理可得,
AF=PG=4,AG=PF=3,即四边形AFPG为平行四边形,
∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°
∵Rt△ABD和Rt△ACE中,DF=AF,GE=AG,
∴DF=PG=4,PF=EG=3,∠DFB=2∠DAF=2α=30°,∠EGC=2∠CAE=2α=30°,
∴∠DFP=∠PGE=90°,
∴DP=EP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
由(2)可得,∠PDE=α=15°=∠PED,
过点E作DP的垂线,交DP的延长线于H,则∠EPH=30°,
∴EH=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{5}{2}$,
∴△PDE的面积=$\frac{1}{2}$×DP×EH=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$.
故答案为:$\frac{25}{4}$.

点评 本题主要考查了三角形的综合应用,解题时需要运用全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,三角形的面积计算以及三角形中位线定理等,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形、平行四边形以及直角三角形,利用勾股定理进行求解.解题时注意:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

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