Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+（m+2）x+ 与x轴交于A（﹣2﹣n，0），B（4+n，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点作直角三角形BCE，斜边CE与抛物线交于点P，且CP=EP，求点P的坐标；
（3）将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．当旋转后的△BO′C′有一边与BD重合时，求△BO′C′不在BD上的顶点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意﹣2﹣n+4+n=m+2，

解得m=0，

∴y=﹣x2+2x+3

（2）解：如图1中，设P（m，﹣m2+2m+3）．易知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

∵PC=PE，∠CBE=90°，

∴PB=PC=PE，

∴m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，

整理得：m2﹣m﹣3=0，

∴m= ，

∴P（ ， ）或P（ ， ）

（3）解：如图2中，当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．

因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，

所以∠ABO′=∠PBC．

则△DBO′∽△CBP，

所以 = ，

所以 = ，

所以BD=3O′D．

设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x2+（3x）2=32，

解得x= ，

所以BD= ，

所以点O′的坐标为（3﹣ ， ）．

如图3中，当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，

因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，

所以∠EBC′=∠PBC．

所以△EBC′∽△CBP，

所以 = ，

所以 = ，

所以BE=3C′E．

设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，

得y2+（3y）2=（3 ）2，

解得y= ，

所以BE= ，

所以C′的坐标为（3+ ， ）

【解析】（1）利用根与系数的关系或根据抛物线的对称轴x=-=（x1+x2），其中是x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标，列出方程求出m即可解决问题。
（2）先根据函数解析式求出A，B，C三点坐标，设P（m，-m2+2m+3）．再证明PC=PB，利用两点间距离公式，列出方程即可解决问题。
（3）应分两种情况考虑：当BC′与BP重合，此时O′为所求点．过点O′作O′D⊥OB于D，根据点B、C的坐标证得∠CBO=∠C′BO′=45°，这两个等角同时减去∠CBO′后可得到∠PBC=∠O′BD，即可证得△PBC∽△O′BD，根据PC、BC的比例关系，可求得O′D、BD的比例关系，进而可由勾股定理和O′B（即OB）的长求出O′D、BD的长，即可得到点O′的坐标；
当BO′与BP重合时，C′为所求的点．可过B作直线BE⊥x轴，过C′作C′E⊥BE于E，按照1）的思路，可证△EBC′∽△CBP，同样能得到C′E、BE的比例关系，进而由勾股定理出这两条线段的长，即可得到点C′的坐标。
【考点精析】掌握根与系数的关系和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．