Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A、C重合），过点M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分别为E、F，则四边形EMFD面积的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 18
• D． 24

Answer 1

分析 根据矩形的性质和判定可得四边形EBFM是矩形，根据相似三角形的判定和性质可得$\frac{FM}{AD}$=$\frac{CF}{CD}$，设DF=EM=x，DE=FM=y，得到y=-$\frac{3}{4}$x+6，根据矩形的面积公式得到四边形EMFD面积=-$\frac{3}{4}$（x-4）²+12，再根据函数的最值问题即可求解．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵ME⊥AD，MF⊥DC，
∴∠DEM=90°，∠DFM=90°，
∴四边形EBFM是矩形；
∴DF=EM，DE=FM，FM∥AD，ME∥CD，
∴△AEM∽△ADC，
∴$\frac{FM}{AD}$=$\frac{CF}{CD}$，
设DF=EM=x，DE=FM=y，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{6-y}{6}$，
y=-$\frac{3}{4}$x+6，
四边形EMFD面积=xy=x（-$\frac{3}{4}$x+6）=-$\frac{3}{4}$（x-4）²+12，
故x=4时，四边形EMFD面积的最大值为12．
故选：B．

点评 考查矩形的判定和性质，二次函数的最值，解题的关键是证明四边形EBFM是矩形，△AEM∽△ADC．