正方形ABCD的对角线交于点O.∠EOF=90°.且两边分别交直线AB于点E.交直线BC于点F.如图①有结论:BE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．理由如下:∵四边形ABCD是正方形.∴OB=OC.∠EBO=∠FCO=45°.∠BOC=90°∵∠EOF=90°.∴∠EOB=∠FOC.△EOB≌△FOC(ASA)∴BE=CF∵BC=CF+BF∴BC=BE+BF∵四边形ABCD是正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．正方形ABCD的对角线交于点O，∠EOF=90°，且两边分别交直线AB于点E，交直线BC于点F，如图①有结论：BE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠EBO=∠FCO=45°，∠BOC=90°
∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，△EOB≌△FOC（ASA）∴BE=CF∵BC=CF+BF
∴BC=BE+BF∵四边形ABCD是正方形∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，故BE-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．
（1）将∠EOF旋转至图②、图③位置时，线段BE、BF与AC又有怎样的数量关系？请分别写出你的猜想并选择一种情况加以证明；
（2）当AC=4$\sqrt{2}$，S_△COF=1时，S_△BOC=4，EF=$\sqrt{10}$或$\sqrt{26}$．

分析（1）如图②，根据正方形的性质得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，通过全等三角形△EOB≌△FOC（ASA）的性质得到：BE=CF，则易得BC=CF+BF=BE+BF，故BE-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．
如图②，解答思路同上．
（2）由AC=4$\sqrt{2}$，解得BC=4，OC=OB=2$\sqrt{2}$，由直角三角形的面积公式求得S_△BOC=4，根据S_△COF=1，求得CF，进而求得BF的值；根据图①和图②分两种情况求解．

解答解：（1）如图②，BF-BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠EBO=∠FCO=135°，∠BOC=90°
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
∵在△BOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBO=∠FCO}\\{OB=OC}\\{∠BOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BF=BC+CF=BC+BE．即BF-BE=BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
故BF-BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．

如图③，BE-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OA，∠FBO=∠EAO=135°，∠BOA=90°
∵∠EOF=90°，
∴∠FOB=∠EOA，
∵在△BOF与△AOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FBO=∠EAO}\\{OB=OA}\\{∠FOB=∠EOA}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△AOE（ASA），
∴BF=AE，
∴BE=AB+AE=BC+BF．即BE-BF=BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
故BE-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC．

（2）∵AC=4$\sqrt{2}$，
∴OC=OB=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，BC=4．
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．
如图③，连接EF，
∵S_△COF=1，S_△BOC=4，
∴图③的情况不存在．

如图①，连接EF，
∵S_△COF=1，S_△BOC=4，
∴BF：CF=3：1，
∴BF=3，CF=1．
由题意知，BE=CF=1，
则EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

如图②，连接EF．
∵S_△COF=1，S_△BOC=4，
∴BF：CF=5：1，
∴BF=5，CF=1．
由题意知，BE=CF=1，
则EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
综上所述，EF的长度是$\sqrt{10}$或$\sqrt{26}$．
故答案是：4；$\sqrt{10}$或$\sqrt{26}$．

点评本题考查了四边形综合题，解题过程中，综合运用了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，注意，解答（2）题，要分类讨论，以防漏解．

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