Question

10．在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax²-$\frac{1}{2}$x+4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，且点B的坐标为（4，0），点E（m，0）为x轴上的一个动点，过点E作直线1⊥x轴，与抛物线y=ax²-$\frac{1}{2}$x+4交于点F，与直线AC交于点G．
（1）分别求抛物线y=ax²-$\frac{1}{2}$x+4和直线AC的函数表达式；
（2）当-8＜m＜0时，求出使线段FG的长度为最大值时m的值；
（3）如图2，作射线0F与直线AC交于点P，请求出使FP：PO=1：2时m的值．

Answer 1

分析 （1）将B（4，0）代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到抛物线的解析式，然后由抛物线的解析式可求得A、C的坐标，接下来，依据待定系数法可求得AC的解析式；
（2）由E（m，0）可知F（m，-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{1}{2}m$+4），G（m，$\frac{1}{2}$m+4）．从而得到FG与m的函数关系式，然后依据配方法求得FG的最大值，以及m的取值即可；
（3）先证明△PEG∽△POC，由相似三角形的性质可求得FG=2，由（2）可知此时m的取值

解答 解：（1）∵将B（4，0）代入抛物线的解析式得：16a-2+4=0，解得：a=-$\frac{1}{8}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}x+4$．
∵令y=0得；-$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}x+4$=0，解得；x₁=-8，x₂=4，
∴A（-8，0）．
∵令x=0得：y=4，
∴C（0，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b
∵将点A、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=4，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}x+4$．
（2）∵点E的坐标为（m，0），
∴点F的坐标为（m，-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{1}{2}m$+4），G（m，$\frac{1}{2}$m+4）．
∴FG=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{1}{2}m$+4-（$\frac{1}{2}$m+4）=$-\frac{1}{8}$m²-m=-$\frac{1}{8}$（m+4）²+2．
∴当m=-4时，FG有最大值，最大值为2．
（3）∵FG∥OC，
∴△PEG∽△POC．
∴$\frac{FG}{CO}=\frac{EP}{OP}$．
∴$\frac{FG}{OC}=\frac{1}{2}$时，FP：PO=1：2．
∴$\frac{FG}{4}=\frac{1}{2}$．
∴FG=2．
由（2）可知当m=-4时，FG有最大值，最大值为GF=2．
∴m=-4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、配方法求二次函数的最大值、相似三角形的性质和判定，求得FG与m的函数关系式是解题的关键．