Question

已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=

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x²上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y=

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x²的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．

Answer 1

分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线．
（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y=-1，PH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：PH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₀，

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x²₀），则
PM=

x 2 0 +( 1 4 x 2 0 -1)2

=

1

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x²₀+1；
又因为点P到直线y=-1的距离为，

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4

x²₀-（-1）=

1

4

x²₀+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．

（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是

QM

RN

=

MP

NH

，
所以

QR

RN

=

PH

HN

，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，平行的性质以及二次函数和一次函数的综合应用．
（2）中通过构建相似三角形来求角相等是解题的关键．