【题目】如图,已知抛物线L:y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0).
(1)求抛物线L的解析式;
(2)在图①抛物线L上,求作点C(保留作图痕迹,不写作法),使∠BAC=∠FAC,并求出点C的坐标;
(3)在图①中,若点D为抛物线上一动点,过点D作DH⊥x轴于点H,交直线AC于点G,过点C作CK⊥x轴于点K,连接DC,当以点G,C,D为顶点的三角形与△ACK相似时,求点D的坐标.
【答案】(1);(2)点C的坐标(,);(3)点D的坐标(,)或(,).
【解析】
(1)将点A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0)的坐标代入解析式中即可求出结论;
(2)根据题意,作出∠BAF的角平分线AC即可,然后过点B作BP∥AC交x轴于点P,过点C作CQ⊥x轴于点Q,设点C的坐标为(t,),证出,列出比例式即可求出t,从而求出点C的坐标;
(3)根据相似三角形的对应情况分类讨论,分别画出对应的图形,然后根据抛物线的对称性、相似三角形的判定及性质和联立方程求交点坐标,即可分别求出结论.
解:(1)将点A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0)的坐标代入抛物线L的解析式中,得
解得:
∴抛物线L的解析式为;
(2)以A为圆心,任意长度为半径作弧,分别交AB、AF于M、N;然后分别以M、N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点E,作射线AE,交y轴于点P,交抛物线于点C,易知此时AC平分∠BAF,即∠BAC=∠FAC,如下图所示,点C即为所求.
过点B作BP∥AC交x轴于点P,过点C作CQ⊥x轴于点Q
∵点A(-3,0)、B(0,4),∠BOA=90°
∴AO=3,BO=4,
根据勾股定理可得AB=
∵BP∥AC,AC平分∠BAF
∴∠BPO=∠CAQ,∠BAO=2∠CAQ
∴∠BAO=2∠BPO
∵∠BAO=∠BPO+∠ABP
∴∠BPO=∠ABP
∴AP=AB=5
∴PO=AP+AO=8
设点C的坐标为(t,),由图可知:t>0
∴OQ=t,CQ=
∴AQ=t+3
∵∠CQA=∠BOP=90°,∠CAQ =∠BPO
∴
∴
即
解得:(不符合t的取值范围,舍去)
∴点C的纵坐标为=
∴点C的坐标为(,);
(3)①当时,如下图所示
∴∠DCG=∠KAC,∠CDG=∠AKC=90°
∴CD∥x轴
此时点C、D关于抛物线L的对称轴对称,对称轴为直线x==
∵点C的坐标为(,)
∴此时点D的坐标为(,);
②当时,如下图所示
∴∠DCG=∠AKC=90°
∴DC⊥AC
设CD与x轴交于点M
由(2)知:点C的坐标为(,),AK=,CK=
∵∠AKC=∠CKM=∠ACM=90°
∴∠CAK+∠ACK=90°,∠MCK+∠ACK=90°
∴∠CAK=∠MCK
∴
∴
∴
解得:MK=
∴OM=
∴点M的坐标为(,0)
设直线CD的解析式为y=kx+d
将点C和点M的坐标代入,得
解得:
∴直线CD的解析式为
联立
解得:或
其中点C的坐标为(,)
∴点D的坐标为(,);
③∵∠DGC一定不等于90°
∴不存在点D,使或;
当以点G,C,D为顶点的三角形与相似时,点D的坐标为(,)或(,).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA、AC、CP,过点C作y轴的垂线l.
(1)P的坐标 ,C的坐标 ;
(2)直线1上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若DE=1,则BC的长为( )
A.2+B.C.D.3
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【题目】一次函数的图象与二次函数的图象交于A,B两点(点A在点B的左侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点C,设二次函数图象的顶点为D.
(1)求点C的坐标;
(2)若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的解析式;
(3)若,且△ACD的面积等于10,请直接写出满足条件的点D的坐标.
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【题目】九年级某班准备选拔四名男生参加学校运动会接力比赛,进行了一次50米短跑测验,成绩如下,(单位:秒)6.9 7.0 7.1 7.2 7.0 7.4 7.3 7.5 7.0 7.4 7.3 6.8 7.0 7.1 7.3 6.9 7.1 7.2 7.4 6.9 7.0 7.2 7.0 7.2 7.6
班主任老师按0.2秒的组距分段,统计每个成绩段出现的频数,填入频数分布表,并绘制了频数分布直方图.
成绩段(秒) | |||||
频数 | 4 | 9 | 7 | 1 | |
频率 | 0.36 | 0.28 | 0.16 | 0.04 |
(1)求a、b值,并将频数分布直方图补充完整;
(2)请计算这次短跑测验的优秀率(7.0秒及7.0秒以下);
(3)成绩前四名的A、B、C、D同学组成九年级某班4×100米接力队,其中成绩最好的A同学安排在最后一棒(第4棒),另外三位同学随机编排在其余三个棒次,画树状图或列表说明B、C两位同学为相邻棒次的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当PBQ存在时,求运动多少秒时,PBQ的面积最大?最大面积是多少?
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使以P,B,Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(阅读理解)
用的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为的矩形图案.
已知长度为的所有图案如下:
(尝试操作)
在所给方格中(假设图中最小方格的边长为),尝试画出所有用的“矩形瓷砖”拼得的“长度是,但宽度均为”的矩形图案示意图.
(归纳发现)
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
(规律概括)
描述一下你发现的规律: .
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【题目】如图,已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,,对称轴为直线,则下列结论:①;②;③;④是关于x的一元二次方程的一个根,其中正确的有_________个
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