Question

12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）经过点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），A（-1，0），C（4，0），连接AB，BC，点M（0，-$\frac{1}{2}$）为y轴负半轴上的一点，连接AM并延长交抛物线于点E，点D为线段AE上的一个动点，过点D作y轴的平行线与抛物线交于点F，与线段BC交于点N
（1）求出抛物线的表达式及直线BC的表达式
（2）在点D运动的过程中，点FN的值最大时，在线段BC上是否存在一点H，使得△FNH与△ABC相似，如果存在，求出此时H点的坐标
（3）当DF=4时，连接DC，四边形ABCD先向上平移一定单位长度后，使点D落在x轴上，然后沿x轴向左平移n（1＜n＜4）个单位长度，用含n的表达式表示平移后的四边形与原四边形重叠部分的面积S（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）A（-1，0），C（4，0）代入y=ax²+bx+2得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解方程组求出a、b即可，根据B、C两点坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）如图2中，设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），则N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），构建二次函数求出FN最大时，点F的坐标，证明△ABC是直角三角形，观察图象可知，只有∠FHN=∠ABC=90°时，△FHN∽△CBA，求出直线FH的解析式，利用方程组即可求出点H的坐标．
（3）根据DF=4，列出方程求出m的值，分两种情形分别求解即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（4，0）代入y=ax²+bx+2得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∵B（0，2），C（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．

（2）如图2中，设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），则N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），

∴FN=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴m=2时，FN的值最大，此时F（2，3），
∵A（-1，0），B（0，2），C（4，0），
∴OA=1，OB=2，OC=4，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠AOB=∠BOC，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠HNF=∠MNC，∠MNC+∠ACB=90°，∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠HNF=∠BAC，
∵△FNH与△ABC相似，
观察图象可知，只有∠FHN=∠ABC=90°时，△FHN∽△CBA，
设直线FH的解析式为y=2x+b′，把F（2，3）代入得b′=-1，
∴直线FH的解析式为y=2x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，
∴点H的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{7}{5}$）．

（3）∵A（-1，0）．M（0，-$\frac{1}{2}$），
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，D（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），
∵DF=4，
∴-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$）=4，
解得m=1或3
①当m=1时，如图2中，1＜n≤2时，重叠部分是四边形D′QBH，

S=S_△ABC-S_△AQD′-S_△D′HC=5-$\frac{（2-n）^{2}}{5}$-$\frac{1}{2}$•（3+n）•$\frac{3+n}{5}$=-$\frac{3}{10}$n²+$\frac{1}{5}$n+$\frac{33}{10}$，

如图3中，2＜n＜4时，重叠部分是△QHC′，

S=$\frac{1}{2}$•HQ²=$\frac{1}{2}$•（$\frac{9\sqrt{5}-2\sqrt{5}n}{5}$）²=$\frac{2}{5}$n²-$\frac{18}{5}$n+$\frac{81}{10}$．
②当m=3时，如图4中，1＜n＜4时，重叠部分是矩形QBHD′．

S=D′H•D′Q=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（n+1）•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（4-n）=-$\frac{2}{5}$n²+$\frac{6}{5}$n+$\frac{8}{5}$

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组求两条直线的交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．