Question

已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，他们同时分别从点A、O向B点匀速移动，移动的速度都是1厘米/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）
（1）试用t的代数式表示P点的坐标；
（2）求△OPQ的面积S（cm²）与t（秒）的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
（3）试问是否存在这样的时刻t，使△OPQ为直角三角形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作PM⊥OA于M，则PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB===5cm，
∵AP=1•t=t，
∴，
∴PM=t，AM=t，
∴OM=OA-AM=3-t，
∴点P的坐标为（ t，3-t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=×t×（3-t）=-t²+t=-（t-）²+，
∴当t=s时，S有最大值，最大值为 cm²；

（3）存在．
理由：作PN⊥OB于N，
∵△OPQ为直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴，
∴（3-t）²=t（t-t），
解得t₁=3，t₂=15（舍去）；
∴当t=3s时，△OPQ为直角三角形．
分析：（1）作PM⊥OA于M，则PM∥OB，再根据平行线分线段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根据比例式求出AM、PM的值，P点坐标即可得到；
（2）根据三角形的面积公式，P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）作OQ边上的高，根据△PON和△QPN相似，相似三角形对应边成比例，列式求解．
点评：此题考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，二次函数最值问题以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与函数思想的应用，注意辅助线的作法．