Question

19．已知线段AB及AB上一点P，当点P满足下列哪一种关系时，点P为AB的黄金分割点（　　）
①AP²=AB•PB；②$AP=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}AB$；③$PB=\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}AB$；④$\frac{AB}{AP}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；⑤$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

• A． ①②④
• B． ②③④
• C． ①②不是，其余都是
• D． 以上任何一种均可

Answer 1

分析 根据黄金分割点的定义列出算式，然后求解得到AP与AB关系，再根据AB、AP、BP三者之间的关系对各小题整理即可判断正误．

解答 解：∵P为AB的黄金分割点，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AB}{AP}$，
∴AP²=AB•PB，故①小题正确；
∵PB=AB-AP，
∴AP²=AB•（AB-AP），
∴AP²+AB•AP-AB²=0，
解得AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，故②小题正确；
∵AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，AP=AB-PB，
∴AB-PB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，
整理得，PB=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，故③小题正确；
∵AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB}$=故④小题正确；
∵$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AB}{AP}$，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故⑤小题正确．
综上所述，①②③④⑤正确．
故选D．

点评 本题考查了黄金分割，明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键．