分析 (1)过点P作PH⊥OA于H,如图,设PH=3x,运用三角函数可得OH=6x,AH=2x,根据条件OA=4可求出x,即可得到点P的坐标;
(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,运用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后求出y=1时x的值,就可解决问题.
解答 解:(1)过点P作PH⊥OA于H,如图.
设PH=3x,
在Rt△OHP中,
∵tanα=$\frac{PH}{OH}$=$\frac{1}{2}$,
∴OH=6x.
在Rt△AHP中,
∵tanβ=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{3}{2}$,
∴AH=2x,
∴OA=OH+AH=8x=4,
∴x=$\frac{1}{2}$,
∴OH=3,PH=$\frac{3}{2}$,
∴点P的坐标为(3,$\frac{3}{2}$);
(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,
过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4),
∵P(3,$\frac{3}{2}$)在抛物线y=ax(x-4)上,
∴3a(3-4)=$\frac{3}{2}$,
解得a=-$\frac{1}{2}$,
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x(x-4).
当y=1时,-$\frac{1}{2}$x(x-4)=1,
解得x1=2+$\sqrt{2}$,x2=2-$\sqrt{2}$,
∴BC=(2+$\sqrt{2}$)-(2-$\sqrt{2}$)=2$\sqrt{2}$=2×1.41=2.82≈2.8.
答:水面上升1m,水面宽约为2.8米.
点评 本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识,出现角的度数(30°、45°或60°)或角的三角函数值,通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题.
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