Question

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-6ax（a＜0）与x轴正半轴交于点A，矩形BCDE的顶点B、E均在x轴上，C、D均在抛物线上，且点B的坐标为（1，0），抛物线的顶点为F，以CF为边作正方形CFMN，以CD为底边向上作等腰直角三角形CDH，连结FH．
（1）当点F在点H上方时，求FH的长．（用含a的代数式表示）
（2）当△FCD为等边三角形时，求a的值．
（3）当点N落在抛物线的对称轴上时，求此抛物线所对应的函数表达式．
（4）直接写出所有使正方形CFMN有两个顶点同时落在矩形BCDE边上的a值．

Answer 1

分析 （1）先求得抛物线的对称轴方程为x=3，然后求得C（1，-5a），F（3，-9a），依据等腰直角三角形的性质求得△CDH的CD边上的高为2，则可表示出EH的长；
（2）先求得△CDF的CD边上的高为2$\sqrt{3}$，然后依据F_y-C_y=2$\sqrt{3}$列方程求解即可；
（3）当点N落在对称轴上时，点H与点F重合，即FH=-4a-2=0；
（4）首先根据题意画出符合题意的图形，然后找出图中全等的三角形，然后依据全等三角形的性质求得相关线段的长，然后列出关于a的方程求解即可．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为x=$\frac{6a}{2a}$=3，
由题意可知点C与点D关于x=3对称，
∴CD=4．
当x=1，y=a-6a=-5a，
∴C（1，-5a）．
∵CDH为等腰直角三角形，CD=4，
∴CD边上的高=2．
当x=3时，y=9a-18a=-9a．
∴FH=-9a-（-5a+2）=-4a-2．
（2）当△FCD为等边三角形时，△CDF的CD边上的高=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴-4a-2+2=2$\sqrt{3}$，解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）当点N落在对称轴上时，点H与点F重合，即FH=-4a-2=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x．
（4）如图1所示：

∵∠DCN+∠CND=90°，∠DCN+∠FCG=90°．
∴∠CND=∠FCG．
在△CGF和△NDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠CND=∠FCG}\\{∠NDC=∠CGF}\\{CF=CN}\end{array}\right.$，
∴△CGF≌△NDC．
∴CD=FG=4．
∵GF=-9a-（-5a）=-4a，
∴-4a=4，解得a=-1．
如图2所示：当点M与点D重合时，点N在抛物线的对称轴上．

由（3）可知a=-$\frac{1}{2}$．
如图3所示：当点N在BE上时．

∵∠BCN+∠NCG=90°，∠NCG+∠GCF=90°，
∴∠BCN=∠GCF．
在△BCN和△GCF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BCN=∠GCF}\\{∠CBN=∠CGF}\\{CN=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△GCF．
∴BC=CG=2，即-5a=2，解得：a=-$\frac{2}{5}$．
如图4所示：

∵∠CFI+∠MFG=90°，∠MFG+∠FGM=90°，
∴∠CFI=∠FMG．
在△CFI和△FMG中$\left\{\begin{array}{l}{∠CFI=∠FMG}\\{∠FIC=∠FGM=90°}\\{CF=FM}\end{array}\right.$，
∴△CFI≌△FMG．
∴FG=CI=2，即-9a=2，解得：a=-$\frac{2}{9}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．