Question

如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
（1）求证：PA•PB=PC•PD；
（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴PA•PB=PC•PD；

（2）证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，
∴FP=FC，∴∠C=∠CPF．
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE．
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；

（3）解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接PO，
∴OM²=（2）²-4²=4，ON²=（2）²-3²=11，
易证四边形MONP是矩形，
∴OP=．
分析：（1）求证PA•PB=PC•PD可以转化为证明Rt△APD∽Rt△CPB；
（2）求证EF⊥AD，可以转化为证明∠DPE+∠D=90°，从而转化为证明∠A=∠DPE；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，OP是矩形MONP的对角线，根据勾股定理就可以求出OP的长．
点评：证明线段的积相等的问题可以转化为证明三角形相似的问题．并且本题还考查了垂径定理，以及勾股定理．