Question

如图1，等腰△ABC，AB=AC，∠A＜60°，D为△ABC外部一点，在AB的右侧作∠ABD=60°，且∠ADB=∠ACB
（1）探究线段AB、CD和BD的数量关系；
（2）若将“∠A＜60°”改为“∠A＞60°”，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确的结论，并简要说明理由．

Answer 1

解：（1）AB=CD+BD，
证明：延长BD至H，使BH=AB，
∵∠ABD=60°，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠H=60°，AH=AB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，AC=AH，
∵∠ADB=∠ACB，∠ABC=∠ADB，
又∵∠AOB=∠CAD+∠ADB=∠CBD+∠ACB，
∴∠CBD=∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°+∠CBD，
又∵∠ADB=∠H+∠HAD=60°+∠HAD
∴∠CBD=∠HAD
∴∠CAD=∠HAD，
在△ACD和△AHD中

∴△ACD≌△AHD，
∴DC=DH，
∴AB=CD+BD．

（2）解：不成立，AB=BD-CD，
理由是：在BD上取一点H，使BH=AB，
同理可证∠CBD=∠CAD=60°-∠ABC，∠DAH=60°-∠ADB，
同理可证△ACD≌△AHD，
∴DC=DH，
即AB=BD-CD．
分析：（1）延长BD至H，使BH=AB，得出△ABH为等边三角形，推出∠H=60°，AH=AB，根据等腰三角形的性质推出∠CBD=∠CAD，根据三角形的外角性质推出∠CAD=∠HAD，证△ACD≌△AHD，推出DC=DH即可；
（2）不成立，AB=BD-CD，在BD上取一点H，使BH=AB，与（1）类似证出∠CBD=∠CAD=60°-∠ABC，∠DAH=60°-∠ADB，△ACD≌△AHD，推出DC=DH即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作辅助线（证三条线段之间的关系的解题思路），题目比较典型，有一点难度．