Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，连结CE，交AD于点H．
（1）求证：AD⊥CE；
（2）如果过点E作EF∥BC交AD于点F，连结CF，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）欲证明AD⊥CE，只需证得△ACE为等腰三角形；
（2）四边形CDEF是菱形．由（1）的结论结合已知条件可以推知对角线FD、CE相互垂直平分．

解答：证明：（1）如图，∵∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，
∴在△ACD与△AED中，

∠CAD=∠EAD ∠ACD=∠AED AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，
∴AH⊥CE，即AD⊥CE；

（2）四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵由（1）知，AC=AE，AD⊥CE，
∴CH=EH，
∵EF∥BC，
∴

EH

CH

=

FH

HD

，
∴FH=HD，
∴四边形CDEF是菱形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形与平行四边形的判定，以及角平分线的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．